Juin 2004 - Physique : ballon sonde

Un ballon sonde, en caoutchouc mince très élastique, est gonflé à l'hélium. Une nacelle attachée au ballon emporte du matériel scientifique afin d'étudier la composition de l'atmosphère.
En montant, le ballon grossit car la pression atmosphérique diminue. Sa paroi élastique finit par éclater à une altitude généralement comprise entre 20 et 30 kilomètres. Après l'éclatement, un petit parachute s'ouvre pour ramener la nacelle et son matériel scientifique au sol.
Il faut ensuite localiser la nacelle, puis la récupérer pour exploiter l'ensemble des expériences embarquées.

1. Mécanique du vol

L'objectif de cette partie est d'étudier la mécanique du vol du ballon sonde à faible altitude (sur les premières centaines de mètres). On peut alors considérer que l'accélération de la pesanteur g, le volume du ballon Vb et la masse volumique r de l'air restent constantes.
On modélisera la valeur de la force de frottement de l'air sur le système étudié par l'expression : f = K.r .v² où K est une constante pour les altitudes considérées et v la vitesse du centre d'inertie du système {ballon + nacelle}.
On supposera qu'il n'y a pas de vent (le mouvement s'effectue dans la direction verticale) et que le volume de la nacelle est négligeable par rapport au volume du ballon.
Le système {ballon + nacelle} est étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.

1.1. Condition de décollage du ballon.

1.1.1. Etablir le bilan des forces exercées sur le système {ballon + nacelle}, lorsque le ballon vient juste de décoller. Indiquer le sens et la direction de chaque force.

Le système est soumis à 3 forces:
A : la poussée d'Archimède. Cette force est verticale, orientée vers le haut.
: le poids du système. Cette force est verticale, orientée vers le bas.
: la force de frottement de l'air sur le système. Cette force est verticale, orientée vers le bas (celle-ci est négligeable au début du mouvement).


1.1.2. La poussée d'Archimède.
Donner l'expression littérale de la valeur FA de la poussée d'Archimède.

Par définition : FA = r Vb g

1.1.3. Soit M la masse du système.
Appliquer au système la seconde loi de Newton (seule la relation vectorielle est demandée).

D'après la seconde loi de Newton : A + + = M


1.1.4. La vitesse initiale du ballon (juste après le décollage) étant considérée comme nulle, à quelle condition doit satisfaire le vecteur accélération pour que le ballon puisse s'élever ? En déduire une condition sur M (on projettera la relation obtenue à la question 1.1.3. sur un axe vertical orienté vers le haut).

Le ballon s'élève si est orienté vers le haut (et non nul).
Comme v0 = 0 m · s-1 la force de frottement de l'air est initialement nulle.
En projetant la relation de la question 1.1.3. sur un axe vertical (Oz) orienté vers le haut on obtient : FA - P = M.az ou r Vb g - M g = M az
D'après le début de la question, il faut que az > 0, soit r Vb g - M g > 0 Þ M < r Vb      

1.1.5. En déduire la masse maximale de matériel scientifique que l'on peut embarquer dans la nacelle

Données :
r = 1,22 kg · m-3
Vb = 9,0 m3
Masse du ballon (enveloppe + hélium) : m = 2,10 kg
Masse de la nacelle vide : m' = 0,50 kg

Soit m'' la masse de matériel embarqué.
Comme M = m + m' + m'', d'après la relation précédente on déduit que :

m + m' + m'' < r Vb Þ m'' < r Vb - m - m'

Masse maximale de matériel embarqué : m"max = 1,22 × 6,0 - 2,10 - 0,50 = 8,38 kg

1.2. Ascension du ballon.

1.2.1. À partir de la question 1.1.3. et en conservant l'axe défini à la question 1.1.4., montrer que l'équation différentielle régissant le mouvement du ballon peut se mettre sous la forme : A v 2 + B = et donner les expressions de A et B
La masse de matériel embarqué étant de 2,0 kg, l'application numérique donne :
A = - 0,53 m-1 et B = 13,6 m · s-2.

La projection de la relation A + + = M sur l'axe (Oz) est :

FA - P - ƒ = M az = M or vz = v donc =

r Vb g - M g - K r v 2 = M Þ - v 2 + ( - 1 ) g =

Donc A v 2 + B = avec A = - et B = ( - 1 ) g

1.2.2. Une méthode de résolution numérique, la méthode d'Euler, permet de calculer de façon approchée la vitesse instantanée du ballon à différentes dates en utilisant la relation suivante :
v(tn + 1) = v(tn) + Dv(tn) avec Dv(tn) = a(tn) Dt
tn + 1 = tn + Dt où Dt est le pas de résolution.
Par cette méthode on souhaite calculer la vitesse v1 à l'instant de date t1 = 0,05 s et la vitesse v2 à l'instant de date t2 = 0,1 s, la vitesse initiale du ballon étant nulle. On prendra Dt = 0,05 s.
En utilisant la méthode d'Euler, l'équation différentielle de la question 1.2.1. et les valeurs de A et B, recopier et compléter le tableau suivant :


Date t en s Valeur de la vitesse
v(tn) en m · s-1		 Valeur de l'accélération
a(tn) en m · s-2		 Dv(tn)
en m · s-1
t0 = 0,0 0 13,6 0,68
t1 = 0,05 0,68 13,4 0,67
t2 = 0,10 1,35    


1.3. Vitesse limite du ballon

1.3.1. Donner l'expression littérale de la limite vl du ballon en fonction de A et B.

Lorsque la vitesse limite est atteinte, le mouvement devient rectiligne uniforme (az = 0)
donc la relation A v 2 + B = devient A v12 + B = 0 Þ v1 =


1.3.2. Calculer cette vitesse limite.

Application numérique : v1 = 5,1 m · s-1

1.3.3. La méthode d'Euler donne le graphique suivant :


Comparer la vitesse limite calculée au 1.3.2. à la valeur lue sur le graphique (le calcul de l'écart relatif n'est pas demandé).

On peut lire sur le graphique que la vitesse limite vaut environ 5,1 m · s-1. Ce résultat est en accord avec la vitesse limite calculée.


2. Le poids et la poussée d'Archimède varient-ils avec l'altitude ?

Le tableau suivant donne quelques valeurs de grandeurs mesurées au voisinage de la Terre.


Altitude h
(en m)

0

1 000

2 000

3 000

4 000

5 000

6 000

7 000

8 000

 9 000

Accélération de la pesanteur gh
(en m · s-2)

9,8066

9,8036

9,8005

9,7974

9,7943

9,7912

9,7882

9,7851

9,7820

9,7789

Masse volumique de l'air rh
(en kg · m-3)

1,22

1,11

1,00

0,90

0,82

0,73

0,66

0,59

0,52

0,46

2.1. Le poids

En calculant l'écart relatif = , montrer que pour les altitudes figurant dans le tableau précédent, l'accélération de la pesanteur peut être considérée comme constante à moins de 1 % près.
On peut donc considérer que le poids est constant entre les altitudes 0 m et 9 000 m.


= = (9,7789 - 9,8066) / 9,8066 = 0,003 = 0,3 %

Les deux valeurs extrêmes de g dans le tableau diffèrent de 0,3%, donc l'accélération de pesanteur peut être considérée comme constante à moins de 1% près.

2.2. La poussée d'Archimède.

En s'aidant de la phrase soulignée dans l'introduction de l'exercice et en considérant qualitativement l'évolution avec l'altitude de chaque paramètre intervenant dans la poussée d'Archimède (dont la valeur est notée FA), choisir et justifier la conclusion qui convient parmi les propositions suivantes :

a. FA augmente.
b. FA reste constante.
c. FA diminue.
d. On ne peut pas conclure.

On a vu que FA = r Vb g. g est considéré comme constant. r diminue mais Vb augmente donc on ne peut rien conclure quant à l'évolution de la valeur de FA (réponse d.).