P_atm = 1,0 · 10⁵ Pa, la pression à la surface de l’eau (z = 0 m) ;
r = 1,0 · 10³ kg · m^-3, la masse volumique de l’eau ;
g = 9,8 m · s^-2, l’intensité de la pesanteur.

La pression de l’air dans la bulle est toujours égale à la pression de l’eau à la même profondeur.
On donne la constante des gaz parfaits : R = 8,314 S.I.

1. En faisant l’hypothèse que l’air de la bulle se comporte comme un gaz parfait, déterminer l’expression du rayon de la bulle r(z) en fonction de la profondeur.

2. Calculer la quantité de matière d’air n_air contenue dans la bulle.

3. Calculer le rayon de la bulle lorsqu’elle va finalement atteindre la surface. On néglige la variation du rayon de la bulle, si cette variation est inférieure à 10 % (en valeur absolue) de la valeur initiale. Peut-on la négliger ?

4. Si l’air a une masse molaire M(air) = 29 g · mol^-1, calculer la masse m de la bulle, puis donner les caractéristiques du poids de la bulle.

5. Donner les caractéristiques de la poussée d’Archimède _A qui s’applique sur la bulle en fonction du rayon r₀ de la bulle.

6. La bulle est également soumise à une force de frottement fluide de la forme = - 6p h r₀ ,avec la viscosité de l’eau h = 1,0 · 10³ Pa · s, le rayon de la bulle r₀ (en mètre) et le vecteur vitesse de la bulle.
a) Placer, sur un schéma, les forces qui s’appliquent sur la bulle.
b) Le mouvement de la bulle étant vertical, établir l’équation différen-tielle régissant la vitesse verticale v de la bulle en fonction du temps.

7. On montre que la vitesse v(t) est de la forme :